Saya Senang Menjadi Siswa SMAN 63 Jakarta Selatan

PENILAIAN TENGAH SEMESTER (PTS) SEMESTER GENAP

1. Jika vektor a ( 1 2 3) b( 5 4 -1) c( 4-1 1) maka vektor a+2b-3c adalah...

Jawab :

a + 2b – 3c

= d. (–1 13 –2)

2. Diketahui panjang ⏐a⏐ = akar 3, panjang |b|=1, dan panjang vektor |a-b| =1. panjang vektor a+b adalah...

Jawab :

|a - b|² = a² - 2ab + b²

1² = √3² - 2ab + 1²

1 = 3 - 2ab + 1

2ab = 3 + 1 - 1

2ab = 3

ab = 3/2

|a + b|² = a² + 2ab + b²

|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²

|a + b|² = 3 + 3 + 1

|a + b|² = 7

|a + b| = √7

Jadi, nilai dari |a + b| =c. √7

3. Diketahui dua vektor a=2i-3j+4k dan b=5j+5k.nilai a.b adalah...

Jawab :

a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k

ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5 (b)

4. Diketahui la+bl=2√19, jika lal=4 dan lbl=6 maka la-bl adalah...

Jawab :

|a + b| = 2√19

|a + b|^2 = (2√19)^2

|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)

4^2 + 2ab + 6^2 = 76

16 + 2ab + 36 = 76

2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2

|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2

|a - b|^2 = 28

|a - b| = √28 = 2√7 (a)

5. Diketahui vektor a=2i-3J+k, b=pi+2j-k dan c=i-j+3k. jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a-b-c adalah...

Jawab :

b x c = 0

(p,2,-1) x (1,-1,3) = 0

(p,-2,-3) = 0

p-2-3= 0

p = 5

a-b-c

= (2,-3,1)-(5,2,-1)-(1,-1,3)

= (-4,4,-1)

= -4i + 4j +k

6. Jika sudut antra vektor a = i + √2j +pk dan b = i - √2j + pk adalah 60°, maka p =

Jawab :

a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)

2p² - 2 = p² + 3

p² = 5

P² - 5 = 0

(P + √5)(p - √5) = 0

P = √5

P = - √5

Jadi, jawabannya d

7. Titik a (3, 2, -1) b (1,-2, 1) dan c(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p...

Jawab :

A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)

C = (7,(p - 1), -5)

panjang AB = B - A

= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)

= (-2, -4, 2)

panjang BC = C - B

= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)

= (6, (p + 1), -6)

kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

misal kita ambil vektor dari sumbu x

-2 * x = 6

x = 6 / -2

x = -3

maka,

-4 * x = (p + 1)

-4 * -3 = p + 1

12 = p + 1

p = 12 - 1

p = 11

---> B.

8. Diketahui titik A(3,1,-4) B(3,-4,6) dan C(-1,5,4) titik p membagi vektor AB sehingga AP:PB=3:2 maka vektor yang di wakili oleh vektor PC adalah....

Jawab :

AP : PB = 3 : 2,

p =

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2) -> E

9. Diketahui panjang proyeksi vektor a=(-2,8,4) pada vektor b=(0,p,4) adalah 8. Nilai p =

Jawab :

a . b =

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| =

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

= 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3 (C)

10. Diketahui vektor a = ( p,2,-1) , b = (4,-3,6) dan c = ( 2,-1,3) , jika a tegak lurus b, maka hasil dari (vektor a-2 vektor b).( 3vektor C) adalah...

Jawab :

a . b = 0

(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0

p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0

4p - 6 - 6 = 0

4p = 12

p = 3

a - 2b

= (p, 2, -1) - 2(4, -3, 6)

= (3, 2, -1) - (8, -6, 12)

= (-5, 8, -13)

3c = 3(2, -1, 3) = (6, -3, 9)

(a - 2b) . 3c

= (-5, 8, -13) . (6, -3, 9)

= -5(6) + 8(-3) + (-13)(9)

= -30 - 24 - 117

= -171 (E)

11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =

Jawab :

AB = b - a

= (3,3,1) - (1,2,3)

= (2,1,-2)

BC = c - b

= (7,5,-3) - (3,3,1)

= (4,2,-4)

AB : BC

(2,1,-2) : (4,2,-4)

(2,1,-2) : 2(2,1,-2)

1 : 2

Jadi, AB : BC = 1 : 2 (a)

12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...

Jawab :

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

jadi a dan b saling membentuk sudut 90° (a)

13. Diketahui titik A (2,7,8) B (-1,1,-1) dan C (0,3,2) Jika u mewakili AB dan v mewakili BC maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...

Jawab :

AB= b-a

BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)

=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)

=(1,2,3)

e= u•v/|v|² . v

=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)

=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)

=-42/14 kali (1,2,3)

= -3(1,2,3)

= (-3,-6,-9) = -3i - 6j -9k (A)

14. Diketahui Vektor a= 2i - 3j + 6k b = i + pj - k saling tegak lurus. Nilai p adalah...

Jawab :

Saling tegak lurus

a . b = 0

(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0

2 + (-3p) + (-6) = 0

-3p - 4 = 0

p = -4/3 (B)

15. Diketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Jawab :

|d| = a.b/ |a |

= (2, -3, 1) . (3,1,7)

= (6, -3, 7)

= 6 i - 3j + 7k

16. Diketahui vektor a = 3,-2,1b= 2,y,2. jika z proyeksi a terhadap b dan vektor |z|= vektor |b|, maka nilai y yang memenuhi adalah...

Jawab :

|z| = ½ |b|

|z| = ½ √(2)² + (y)² + (2)²

|z| = ½ √y² + 8

a.b = (3, -2, 1) × (2, y, 2) = (6 - 2y + 2) = 8 - 2y

Proyeksi a pada b

|z| = a.b / |b|

½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8

½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y

y² + 8 = 2 (8 - 2y)

y² + 8 = 16 - 4y

y² + 4y - 8 = 0

y = -4+4√3.2 atau y=-4-2√3.2

= -2 + 2√3 (B)

17. Diketahui vektor-vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan cos theta=6/11. proyeksi u pada v adalah p=4i-2j+4k. nilai dari b adalah.....

Jawab :